Fünf rote Würfel liegen vor einem Würfelbecher.

Wie zufällig ist Würfeln?

Wie viel Zufall steckt in einem Würfelwurf? Kann man den Ausgang eines Wurfs vorhersagen, vielleicht sogar beeinflussen? Jan Nagler vom Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation in Göttingen arbeitet unter anderem im Bereich der Chaosforschung und entwickelt mathematische Modelle, um dieser Frage auf den Grund zu gehen. 

Spricht man im Alltag von Chaos, meint man normalerweise einen Zustand großer Unordnung. In der Physik zeichnet sich ein chaotisches System dadurch aus, dass es extrem empfindlich auf gegebene Anfangsbedingungen reagiert. Diese Abhängigkeit bedeutet, dass eine kleine Änderung in den Startvoraussetzungen zu großen Änderungen im Ausgang führt. Das macht langfristige Vorhersagen so gut wie unmöglich, die Dynamik des Systems erscheint „chaotisch“.

„Wirkliche Zufälligkeiten spielen in chaotischen Systemen keine große Rolle – sie sind im Gegensatz zu der Empfindlichkeit der Anfangsbedingungen nicht notwendig für chaotisches Verhalten“, sagt Jan Nagler, Physiker am Max-Planck-Institut für Dynamik und Selbstorganisation und am Institut für Nichtlineare Dynamik der Universität Göttingen. Er findet chaotische Systeme faszinierend, weil sie noch bis heute zu großen Teilen unverstanden sind.

Zwei Holzwürfel liegen nebeneinander. Ein Würfel ist weiß und zeigt eine Eins, der andere Würfel ist rot und zeigt eine Drei.
Ein Modell des Zufalls

Denn das Verhalten chaotischer Systeme lässt sich meistens nicht vorhersagen, obwohl die betrachteten Systeme deterministisch sind, das heißt, die zukünftige Entwicklung ist vollständig durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Da in den Gleichungen, die die Bewegung des Systems beschreiben, keine Elemente des Zufalls auftauchen, spricht man oft vom sogenannten deterministischen Chaos.

Physiker stehen damit vor der scheinbar paradoxen Situation, dass ein von Natur aus berechenbares System trotz allem kaum Vorhersagen über die Zukunft zulässt. „Ich finde das charmant“, betont Nagler. Der Reiz der Chaostheorie bestehe darin, dass in chaotischen Systemen das Wissen um den zukünftigen Zustand begrenzt ist durch die Präzision, mit der Wissenschaftler die Anfangsbedingungen messen können.

Eine Hantel als Modell des Zufalls

Ein Würfel gilt seit jeher als perfekter Generator für Zufallszahlen. „Der Würfel ist ein interessantes System, gerade auch deshalb, weil sich noch nicht viele mit dem Prozess des Würfelns wissenschaftlich beschäftigt haben.“ Nagler ist der Frage nachgegangen, wie man die Dynamik eines Würfels beschreiben kann und inwieweit der Zufall beim Würfeln eine Rolle spielt.

Um die Zufälligkeit des Würfelns zu untersuchen, entwickelte der Physiker ein Modell, das auf den ersten Blick wenig mit dem klassischen, sechsseitigen Würfel zu tun hat: der Wurf mit einer Hantel. Denn der Zufall beim Würfeln kommt zum Vorschein, wenn dieser senkrecht auf einer Kante steht und entweder zur einen oder zur anderen Seite fallen kann. Diese Situation wird durch den Mechanismus des Hantelwurfs gut beschrieben. „Das ist das einfachste Würfelmodell, das chaotisches Verhalten beschreibt“, sagt Nagler.

Computersimulation vom Wurf einer Hantel in zwei DimensionenZufall in der Simulation
Video: Hantelwurf in der Simulation

In dem Modell sind zwei Punktmassen durch einen masselosen Stab verbunden. Die so konstruierte Hantel kann sich in einer Ebene, also zwei Raumdimensionen, bewegen und fällt aufgrund der Gravitation nach unten. Trifft die Hantel in den Simulationen auf den Boden, so springt sie zurück, fällt nach unten und springt wieder ein Stück nach oben, dreht sich dabei vielleicht noch und kommt irgendwann zum Stehen – genauso wie ein Würfel mehrmals über den Tisch hüpft, bevor er eine Augenzahl zeigt.

Die Bewegung der Hantel wird dabei durch verschiedene Anfangsbedingungen bestimmt: durch die Wurfhöhe, die Orientierung der Hantel zum Boden, dem Verhältnis der beiden Massen zueinander und natürlich durch die Reibung des Bodens. Die Reibungskräfte entziehen der Hantel Energie und bremsen damit letztlich ihren Fall bis zum Stillstand. „Der freie Fall ist klar. Dann kommt die Hantel auf die Tischplatte, aber die Reibungseffekte im Allgemeinen sind noch nicht komplett verstanden“, erklärt Nagler das Problem.

Ein symbolischer Code entschlüsselt die Dynamik

Um die Dynamik eines Hantelwurfs unter verschiedenen Anfangsbedingungen zu beschreiben, hat sich Nagler einen symbolischen Code überlegt, mit dem er chaotisches Verhalten charakterisieren kann. Bei jedem Aufprall der Hantel schaut sich der Physiker die Orientierung der beiden Massen im Vergleich zur Startposition an. Hat sich die Orientierung nicht geändert, ordnet er dem Aufprall eine 0 zu, ist die Position der Massen vertauscht, kennzeichnet er das mit einer 1. Zusätzlich unterscheidet er, ob sich die Hantel bei einem Überschlag gegen oder im Uhrzeigersinn dreht und beschreibt das mit den Buchstaben L beziehungsweise R.

Eine Hantel, dargestellt durch einen grünen und einen roten Punkt und verbunden durch einen blauen Stab, fällt zu Boden. Die Bewegungen der Hantel sind überlagert dargestellt, sodass man den Prozess des Fallens verfolgen kann.
Die Bewegung einer Hantel

In Simulationen hat Nagler viele verschiedene Anfangsbedingungen getestet, um herauszufinden, wie diese die Position der Hantel nach einem Wurf bestimmen. Zum Beispiel setzte er dafür die Reibung, die Wurfhöhe und das Massenverhältnis fest und testete dann systematisch die Möglichkeiten, wie die Hantel geworfen werden kann. Solch ein Wurf ist dann nur noch durch die Orientierung der Hantel zum Boden und durch die Wucht, mit der sie geworfen wird, bestimmt.

Die Ergebnisse der Simulationen lassen sich in einem sogenannten Orbit-Flip-Diagramm veranschaulichen. In diesem Diagramm ist die Wucht (Drehimpuls) gegen die Orientierung (Drehwinkel) aufgetragen und jeder Punkt entspricht einem eindeutigen Satz an Anfangswerten. Hat sich die Orientierung der Massen nach dem Wurf nicht verändert, wird der Punkt gelb eingefärbt. Gelbe Färbung entspricht damit der Zahl 0 des symbolischen Codes. Ein Wechsel der Orientierung ist durch Rot markiert. Die Helligkeit der Farbe verrät zudem, wie oft die Hantel auf dem Boden gehüpft ist, bevor sie zum Stehen kam. Je dunkler die Farbe, desto mehr Sprünge hat die Hantel gemacht.

Würfel sind unfair

Zwei Diagramme zeigen, dass der Zufall beim Würfeln von den Anfangsbedingungen abhängt. Aufgetragen ist der Drehimpuls gegen den Drehwinkel und es wechseln sich rote und gelbe Bereiche im Diagramm ab, die zu den Rändern hin zu einem gelb-roten Punktmuster verlaufen.
Orbit-Flip-Diagramme

Die Orbit-Flip-Diagramme zeigen deutlich, dass die Anfangsbedingungen über die Vorhersagbarkeit beziehungsweise Unvorhersagbarkeit des Würfelns entscheiden. Denn in den Diagrammen tauchen große, einfarbige Bereiche auf, in denen die Dynamik des Wurfs gut beschrieben werden kann. Hier gibt es keine zufälligen Elemente, die das Wurfergebnis beeinflussen könnten. Das ist in den gemischten Gebieten anders, dort erkennt man chaotisches, scheinbar zufälliges Verhalten: Die roten und gelben Punkte wechseln sich immer wieder ab. In diesen Bereichen liegt die empfindliche Abhängigkeit der Anfangsbedingungen vor, die chaotisches Verhalten ausmacht.

Die Diagramme zeigen, dass die vorhersagbaren Bereiche schrumpfen, je höher die Hantel geworfen wird und je kleiner die Reibung beim Abprallen ist. Denn beides erhöht die Anzahl der Sprünge, die die Hantel am Boden vollzieht, bevor sie liegen bleibt, und führt so häufiger zu den zufälligen Situationen, in denen die Hantel beinahe auf der Kippe steht.

Nagler stellte mithilfe seiner Analysen fest, dass die Modellhantel bei realistischen Reibungsgrößen durchschnittlich fünf solcher Sprünge macht und damit das Wurfergebnis noch relativ gut vorhersagbar ist. Die Tatsache, dass ein Würfel als Generator für Zufallszahlen dient, führt der Physiker deshalb eher auf den „externen Zufall“ der Hand zurück: Ein normaler Würfelspieler kann nicht ausreichend gut die Startbedingungen reproduzieren, mit denen er ähnliche Wurfergebnisse wiederholt würfeln könnte. Jedoch fügt Nagler hinzu: „Ich glaube schon, dass man das Schummeln gut trainieren kann. Würfel sind immer unfair, denn sie vergessen nicht, wie sie gestartet sind.“

 

Ursprünge der Chaostheorie

Die Wurzeln der Chaostheorie, einem nicht-klassischen Forschungsfeld der Physik, reichen zurück bis ins Ende des 19. Jahrhunderts, als Wissenschaftler untersuchten, wie stabil unser Sonnensystem ist. Der berühmte Mathematiker Henri Poincaré entdeckte chaotisches Verhalten, als er das sogenannte Dreikörperproblem der Himmelsmechanik studierte. Das Dreikörperproblem stellt die Aufgabe, die Bewegung dreier Planeten unter dem Einfluss ihrer Schwerkraft zu modellieren.

Da chaotische Vorgänge sehr komplex sind, entwickelte sich die Chaostheorie erst mit dem Aufkommen von Computern in der Mitte des 20. Jahrhunderts rasant weiter. Auch heute noch sind numerische Simulationen das wichtigste Hilfsmittel bei der Untersuchung chaotischer Systeme.