Wirbelschleppe

Die „Coca-Cola-Formel“ eines Fußballs

Ohne Luftwiderstand ergeben sich symmetrische Flugkurven und recht unrealistische Flugweiten von Schüssen. Und solche idealisierten Betrachtungen galten sowieso nur für sehr kleine Geschwindigkeiten. Aber Fußbälle beschreiben alles andere als schöne symmetrische Wurfparabeln, sondern sie sehen deutlich komplizierter aus. Der Grund dafür ist der Luftwiderstand, der bei einem Fußball recht groß ist und die Flugbahn des runden Leders sehr stark beeinflusst. Wovon hängt der Luftwiderstand eines Fußballs ab und wie beeinflusst er seine Flugeigenschaften?

schwarze Kugel, von weißen Strömungen umgeben. Von links kommend, sind diese eher regelmäßig, nach dem Vorbeifließen an der Kugel werden sie rechts von ihr turbulent, unregelmäßig und verwirbelt.
Bewegte Kugel in einer Flüssigkeit

Die Ursache des Luftwiderstandes sind Wirbel, die entstehen, wenn die Luft den Ball im Flug umströmt. Die Abbildung zeigt solche Wirbel, die sich hinter einer Kugel bilden, wenn sie sich durch eine Flüssigkeit bewegt.

Ein ähnliches Bild würde sich ergeben, wenn ein Gas wie die Luft eine Kugel umströmt. Zunächst strömt die Luft um die Kugel herum, um sich dann etwa bei der Hälfte von ihrer Oberfläche abzulösen. Dieses Ablösen ist offensichtlich die Ursache der Wirbelbildung und somit des Luftwiderstandes. Es ist nochmals schematisch in der Abbildung links zu sehen.

Grafik: Querschnitt einer Kugel, umgeben von Strömungspfeilen von links nach rechts. Gestrichelt ist eine Grenzschicht eingezeichnet: an der linken Kugelseite ist diese direkt an der Oberfläche, nach oben und unten etwas weiter von ihr entfernt. Der Punkt, wo sich die Strömung ablöst, ist auf etwa 1 und 5 Uhr eingezeichnet.
Erklärung für die Wirbelentstehung

Nun kann man sich fragen, wieso die Luft den Ball nicht einfach gleichmäßig umströmt, ohne Wirbel zu bilden? Der Grund ist ganz einfach: Sie schafft es nicht, weil auch Luft eine gewisse „Zähigkeit“ (der physikalische Begriff wäre „Viskosität“) besitzt, die das Fließen bzw. Strömen aufgrund innerer Reibung verlangsamt, wie man es von der Zähigkeit des Honigs her kennt. Die Zähigkeit der Luft ist natürlich viel viel kleiner als die von Honig, aber sie ist eben nicht Null. Die Luft, die die Oberfläche des Fußballs direkt umströmt, löst sich also irgendwann von dieser Oberfläche ab und bildet Wirbel. Der ganze Vorgang passiert in einer nur wenige Millimeter dicken Schicht, der so genannten „Grenzschicht“. Wichtig ist nun, dass dieser Vorgang selbst dann passiert, wenn die Oberfläche der Kugel perfekt glatt ist. Genau genommen ist er sogar bei einem perfekt glatten Fußball am größten, wie wir noch sehen werden! Durch das Ablösen von einzelnen Luftwirbeln in der Grenzschicht entstehen hinter jeder Kugel, also auch jedem Fußball, der durch die Luft fliegt, immer sog. „Wirbelschleppen“, die dem Ball Energie entziehen und seine Bewegung somit verlangsamen.

Querschnitt einer Kugel, umgeben von je einer Strömungslinie oberhalb und unterhalb, von links nach rechts laufend. Rechts von der Kugel halbkreisförmige Pfeilchen, die Verwirbelungen andeuten.
Luftwiderstand einer Kugel

Es ist nun sicher leicht einzusehen, dass der Grad der Wirbelbildung an der Oberfläche von der Geschwindigkeit der Luft abhängt, die die Kugel umströmt. Dies ist aber gerade die Geschwindigkeit mit der unser Fußball durch die Luft fliegt. Je schneller sich der Ball bewegt, desto eher löst die Luft sich von der Oberfläche des Balls ab und desto mehr Wirbel sollten somit entstehen. Eine sehr komplexe Betrachtung zeigt, dass der Luftwiderstand einer Kugel quadratisch von der Geschwindigkeit v abhängt, das heißt wenn sich die Geschwindigkeit verdoppelt dann vervierfacht sich der Luftwiderstand. Eine genaue Analyse ergibt für die Kraft, die der Luftwiderstand auf den Ball ausübt, den folgenden Ausdruck: 

$$ F_{\textrm{Luftw.}} = 0,5 \rho c_w A v^2 $$

Dabei ist ρ = 1,2 g/l die Dichte der Luft und cW ist der sogenannte „Luftwiderstandsbeiwert“, der die Stromlinienförmigkeit eines sich durch die Luft bewegenden Körpers angibt. Für eine Kugel gilt cW ≈ 0,3-0,5. Die Größe A ist die Querschnittsfläche eines Fußballs, die sich mit dem bekannten Radius von R = 11 cm eines FIFA-Sportgerätes leicht mittels A = π·R² berechnen läßt. Die Richtung der Kraft des Luftwiderstandes muss allerdings zur vollständigen Beschreibung noch angegeben werden. Sie wirkt immer direkt entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung des Fußballs. Im Gegensatz zur Gravitation, die immer in die gleiche Richtung nämlich senkrecht nach unten wirkt, ändert sich diesmal also auch in jedem Punkt der Flugkurve eines Fußballs die Richtung der wirkenden Luftwiderstandskraft. Das macht die mathematische Berechung einer Flugbahn nicht gerade einfacher.

Luftwiderstand aufgetragen gegen die Geschwindigkeit eines Balls: Von 0 bis etwa 75 Kilometern pro Stunde ist er näherungsweise proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit, steigt also parabelförmig an. Ab dieser Geschwindigkeit fällt er bis 90 Kilometer pro Stunde auf etwa ein Viertel des größten Wertes. Dann steigt er langsam wieder an.
Luftwiderstand für eine (perfekte glatte) Kugel

Im Prinzip kann so aber der Luftwiderstand eines Fußballs ganz genau ausgerechnet werden. Die Abbildung zeigt eine solche Kurve für einen völlig glatten Fußball. Die Luftwiderstandskraft ist hier in Vielfachen des Ballgewichtes als Funktion der Ballgeschwindigkeit angegeben.

Es ist zu erkennen, dass der Luftwiderstand quadratisch mit der Geschwindigkeit ansteigt, genau so, wie wir das eben diskutiert haben. Allerdings passiert für Geschwindigkeiten im Bereich von etwa 75–90 km/h, oberhalb der so genannten „kritischen Geschwindigkeit“, etwas sehr Merkwürdiges: Der Luftwiderstand nimmt nun stark mit zunehmender Geschwindigkeit ab! Wie kann das passieren? Einfach ist die Erklärung dafür sicher nicht. Wir hatten gesehen, dass das Ablösen von Luftwirbeln in der nur wenige Millimeter dicken Grenzschicht um den Fußball herum für den Luftwiderstand und dessen Anstieg mit zunehmender Geschwindigkeit verantwortlich ist. Bei der kritischen Geschwindigkeit passiert nun etwas Seltsames: Die Luft in der Grenzschicht wird selber turbulent, das heißt die Grenzschicht selber beginnt mikroskopisch zu verwirbeln. Dies hat paradoxerweise zum Resultat, dass sich nun die größeren Wirbel viel später von der Balloberfläche ablösen können als vorher, da die mikroskopischen Wirbel die Grenzschicht dominieren und diese den Luftwiderstand bestimmt. Als Ergebnis folgt dann, dass die Wirbelschleppe kleiner wird und der Luftwiderstand insgesamt drastisch abnimmt. Auch dies soll nochmals schematisch mit einer Abbildung veranschaulicht werden (rechts).

Grafik: Querschnitt einer Kugel. Je zwei Strömungspfeile oberhalb und unterhalb der Kugel, von links nach rechts gehend. Eine Grenzschicht, die links den Ball berührt und dann oben und unten jeweils bis 1 und 5 Uhr nahe der Oberfläche verläuft. Innerhalb dieser Grenzschicht sind nach rechts größer werdende Verwirbelungen dargestellt. Von der Kugel gehen diese nach rechts weiter, innerhalb der inneren Strömungslinien. Die beiden inneren Strömungslinien verlaufen dadurch auch wellig und nicht glatt wie die äußeren.
Vorgänge bei der „kritischen Geschwindigkeit“

Wenn nun aber der Luftwiderstand eines Fußballs so von der Geschwindigkeit abhängen würde, wie es die vorletzte Abbildung zeigt, dann hätte dies immense Konsequenzen für das Spiel. Bei jedem etwas stärkeren Schuß, dessen Geschwindigkeit oberhalb der „kritischen Geschwindigkeit“ liegt, würde der Luftwiderstand zunächst mit abnehmender Geschwindigkeit zunehmen, durch ein Maximum laufen und dann wieder abnehmen. Die Flugkurve des Balls würde merkwürdig aussehen – der Ball würde in der Luft „flattern“.

Die bisherigen Betrachtungen galten aber auch nur für eine perfekt glatte Kugel von der Größe eines Fußballs. Jeder Fußball, auch der so glatte „Teamgeist“ Ball der vergangenen WM von 2006, hat aber Nähte oder andere Aufrauungen an der Oberfläche. Diese raue Oberfläche sorgt nun dafür, dass mikroskopische Wirbel in der Grenzschicht auch schon für sehr geringe Geschwindigkeiten auftreten. Diese Wirbel werden also durch die Unebenheiten auf der Oberfläche quasi gezielt abgelöst und verhindern, dass sich die großen Wirbel bilden, die den Luftwiderstand ansonsten bestimmen. Insgesamt ergibt sich ein Netto-Gewinn, denn die verwirbelte Grenzschicht bewirkt eine Verringerung des gesamten Luftwiderstandes wie die Abbildung oben zeigt. Weiterhin wird auch verhindert, dass es so etwas wie eine „kritische Geschwindigkeit“ gibt, oberhalb der der Luftwiderstand abnimmt. Der Luftwiderstand ist dann eine monoton steigende Funktion der Geschwindigkeit, wie in der Abbildung zu sehen ist.

Luftwiderstand, aufgetragen gegen Ballgeschwindigkeit. Hier keine theoretische Kurve, sondern Darstellung von Messwerten und einer Näherungsgerade. Die Messwertlinie verläuft relativ glatt, sie hat ein lokales Maximum bei 30 Kilometern pro Stunde. Dort beträgt der Widerstand etwa 0,2mal das Ballgewicht. Ab 60 Kilometern pro Stunde steigt sie ein wenig stärker an, erreicht bei 75 Kilometern pro Stunde die Hälfte des Ballgewichts und endet bei knapp 100 Kilometern pro Stunde bei einem Ballgewicht.
Luftwiderstand für einen realen Fußball

Die rote Kurve ist die Messung des Luftwiderstandes für einen realen Fußball, wie sie der Engländer John Wesson für sein Buch The Science of Soccer auf einem Flugplatz mit einer selbst gebauten Apparatur durchgeführt hat. Man erkennt nun, dass ein fast gleichmäßiger Anstieg zu verzeichnen ist, der recht gut durch die blaue Gerade mit der Formel FLuftw. = β v angenähert werden kann. Der Luftwiderstand eines Fußballs ist also eine gleichmäßig steigende Funktion. Der Grund dafür ist seine durch die Nähte unregelmäßig geformte Oberfläche.

Warum habe ich Ihnen nun nicht einfach die Luftwiderstandskurven aller Bälle gezeigt, so wie sie die Hersteller für Bälle wie den „Teamgeist“ Ball angeben, sondern die Messung oben des „Amateurs“ John Wesson, die er für einen herkömmlichen Fußball im Jahre 2001 gemacht hat? Ganz einfach: Die Hersteller geben diese Kurven nirgends an! Die Kurve oben ist quasi die „Coca-Cola-Formel“ eines Fußballs – das Geheimrezept, aus dem sich alle Flugeigenschaften bestimmen lassen! Die genaue Luftwiderstandskurve muss deswegen für jedes neue Modell eines Fußballs mit neuer Oberflächenstruktur genau im Windkanal gemessen werden, damit man absolut sicher sein kann, dass das Phänomen der kritischen Geschwindigkeit nicht auftaucht und der Ball bei großen Geschwindigkeiten nicht anfängt zu „flattern“. Messungen im Windkanal sind aber teuer und für den Normalbürger nicht zu bezahlen. Der Konkurrenz möchte man sie wohl nicht „gratis“ überlassen – deswegen gibt es keine Luftwiderstandskurven der Hersteller von Fußbällen.

Als Fazit können wir festhalten, dass ein Fußball nur deswegen so gleichmäßig durch die Luft fliegt, weil er eine rauhe Oberfläche hat. Durch diese Unregelmäßigkeiten der Oberfläche wird sein Luftwiderstand reduziert und er „flattert“ in der Regel nicht, sondern er lässt sich von Profis wie Thorsten Frings sehr gezielt über viele Meter zum Mitspieler passen, um entscheidende Tore zu schießen. Die Luftwiderstandskurve eines guten Fußballs, also die Luftwiderstandskraft als Funktion der Geschwindigkeit des Fußballs, sollte daher eine stetig ansteigende fast gerade Linie sein. Kennt man diese Kurve, dann kennt man auch die genauen Flugeigenschaften des Balls. Diese Luftwiderstandskurve ist somit genauso wichtig für den Hersteller wie die „Coca-Cola-Formel“ für das gleichnamige Getränk.

Sie haben gesehen, Fußball kann manchmal recht kompliziert sein. Der bloße Flug eines Fußballs durch die Luft ist aus physikalischer Sicht ein hochkomplexer Vorgang, dabei habe ich Ihnen noch gar nicht alles erzählt.

Noch mehr wissen? Die Bananenflanke

Buchhinweis

Zum Flug eines Fußballs findet man detailliertere Beschreibungen im Buch von John Wesson, The Science of Soccer, dass im Jahre 2002 erschienen ist. Dieses sehr lesenswerte Buch wurde 2005 ins Deutsche übersetzt und ist im Spektrum-Verlag (Elsevier) unter dem Titel Fußball – Wissenschaft mit Kick für 15 Euro zu erwerben.