Aktienkurse

Physik der Finanzmärkte

Aktienkurse steigen und fallen – so viel steht fest. Doch wann genau sie sich wie verhalten, ist bisher reine Spekulationssache. Mit physikalischen Modellen versuchen Wissenschaftler die Gesetzmäßigkeiten der Börse zu entschlüsseln.

Seit Erfindung der Börse gab es immer wieder Zeiten, in denen Aktien- und Wechselkurse wild schwankten. Das hat nicht nur katastrophale Folgen für die Weltwirtschaft, sondern auch immer Auswirkungen auf die Schicksale von Privatpersonen. Zuletzt erreichte eine solche Finanzkrise ihren Höhepunkt im Jahr 2008, als die US-amerikanische Investmentbank Lehman Brothers Insolvenz anmeldete; begonnen hatte sie schon 2007 mit der US-Immobilienkrise. Diese Instabilitäten im Finanzmarkt scheinen unvorhersehbar und überraschend zu sein, wenngleich sich viele daran versuchen, Gesetzmäßigkeiten für ihr Auftreten aufzustellen.

Einen relativ neuen Ansatz bietet die „Ökonophysik“, bei der Konzepte der statistischen Physik auf den Finanzmarkt und wirtschaftliche Prozesse allgemein angewendet werden. Der Grundgedanke ist keineswegs neu. Zahlreiche Mathematiker näherten sich dem Problem der unvorhersehbaren Preisentwicklung an der Börse schon auf ähnliche Weise. Der erste bedeutende Durchbruch gelang im Jahr 1900: Louis Bachelier veröffentlichte seine Doktorarbeit, in der er reale Finanzdaten analysiert hatte. Doktorvater war übrigens kein geringerer als der berühmte französische Mathematiker Henri Poincaré.

Ein Graph stellt die Gaußsche Glockenkurve im Bereich von x zwischen -5 und +5 dar. Zur besseren Veranschaulichung sind dem Graph noch Säulen für einzelne Funktionswerte hinterlegt. Die Kurve ist zu x=0 vollkommen symmetrisch. Dort erreicht sie ihr Maximum des Funktionswertes von etwa 0,4 für f(x). Zu den Seiten hin fällt sie erst immer steiler, dann ab etwa x=2 immer flacher ab. Bei x=2 ist der Funktionswert noch etwa 0,2, bei x=3 nur noch 0,08, bei x=4 noch 0,02 und bei x=5 schon weniger als 0,01.
Gaußsche Glockenkurve

Bachelier behauptet in seiner Arbeit, dass die Schwankungen des Aktienkurses (gemessen über einen beliebigen Zeitraum) eine Glockenkurve, eine sogenannte Gaußkurve, ergeben, wenn man sie in einem Histogramm aufträgt (siehe Grafik Gaußsche Glockenkurve). Während es sehr häufig zu kleinen Aufs und Abs im Kurs kommt, sollten extreme Preisänderungen demnach so gut wie nie auftreten. Die Wahrscheinlichkeit für einen ernsthaften Crash gehen gegen Null, ist die Konsequenz aus der Arbeit des Mathematikers. Tatsächlich sind solche schweren Börsenstürze selten - doch wenn sie auftreten, können ihre Folgen bekanntermaßen verheerend sein.

Riesige Datenmengen

Das von Bachelier zugrunde gelegte Modell wird häufig als „Random-Walk-Theorie“ oder „Theorie der symmetrischen Irrfahrt“ bezeichnet. Denn er ging davon aus, dass die Aktienkurse zufällig um einen bestimmten Betrag steigen oder fallen. In den vergangenen Jahren werteten Ökonophysiker eine riesige Menge an realen Finanzmarktdaten aus - einschließlich Preis, Volumen und Zeitpunkt einer jeder Transaktion und das für eine Fülle von Aktien. In den späten 1990er Jahren untersuchten Paramaswaram Gopikrishnan und Vasiliki Plerou, damals Studenten an der Boston University in den USA, beispielsweise die Käufe und Verkäufe von tausend verschiedenen Aktien in den wichtigsten US-Märkten. Für jedes Wertpapier teilten sie die durchschnittlich 200.000 stattgefundenen Transaktionen in verschiedene Kategorien ein, je nachdem, um welchen Betrag sich der Aktienpreis geändert hatte, um anhand dieser Daten ein Histogramm zu erstellen.

Zum Erstaunen von Gopikrishnan und Plerou traten große Preisänderungen zwar selten, aber dennoch deutlich häufiger auf als von Bacheliers Modell vorhergesagt. Dem Mathematiker zufolge sollte die gesamte Verteilung unter eine Gaußkurve passen; die Hüllkurve im Histogramm der beiden Studenten zeigte allerdings damit unvereinbare Abweichungen in Richtung hoher Preisschwankungen. Mit anderen Worten: Eine Zufallsbewegung, wie die Gaußfunktion sie beschreibt, kann die größten Einbrüche im Aktienkurs nicht erklären. Stattdessen folgen die Messwerte der Preisschwankungen einem „inversen biquadratischen Potenzgesetz“, fanden die beiden Ökonophysiker zusammen mit H. Eugene Stanley von der Boston University in Massachusetts heraus. Eine Preisänderung von zehn Euro ist hier beispielsweise 16 Mal unwahrscheinlicher als eine Preisänderung von fünf Euro, denn die Wahrscheinlichkeit fällt mit der vierten Potenz ab.

Hier sind übereinander zwei Diagramme gezeigt. Das obere, größere, zeigt den Preis von Transaktionen gegenüber der Zeit. Diese reicht von 23:00 Uhr bis 09:00 Uhr. Das untere Diagramm ist ein Säulendiagramm mit der gleichen x-Achse wie dem oberen Diagramm. Es zeigt das Transaktionsvolumen. Um etwa 00:30 Uhr gibt es in der oberen Kurve einen relativ starken Preisanstieg (vom Wert 1,330 auf 1,336). Gleichzeitig ist ein Maximum im Transaktionsvolumen zu beobachten. Auch im weiteren Verlauf der Kurve lässt sich beobachten, dass der Preis immer dann stärker steigt oder fällt, wenn das Transaktionsvolumen höher ist.
Auf- und Abwärtstrends

Dieses Potenzgesetz ist dafür prädestiniert, die Wahrscheinlichkeit der seltenen Ereignisse, die einmal alle paar Jahrzehnte auftreten, zu beschreiben. Die entsprechenden Datenpunkte würden in einem Histogramm relativ weit vom Mittelwert entfernt liegen. Ein Maß für diese Streuung der Messpunkte und damit der Breite der Verteilung ist die sogenannte Standardabweichung. Bei einer Gaußverteilung liegen 99,73 Prozent aller Werte innerhalb von drei Standardabweichungen. Die Wahrscheinlichkeit, einen Extremwert mit hundert Standardabweichungen vom Mittelwert zu finden - vergleichbar mit einem Börsencrash -, beträgt dagegen nur etwa 10-350, sie geht also tatsächlich gegen Null. Im Gegensatz dazu liefert das Potenzgesetz eine weitaus realistischere Wahrscheinlichkeit von 10-8, also eins zu hundert Millionen. Reale Finanzdaten bestätigen diesen Wert. So fanden Gopikrishnan und Plerou in 200 Millionen Datenpunkten in der Regel zwei Werte, die hundert Standardabweichungen entsprechen.

Obwohl das inverse biquadratische Potenzgesetz sowohl diesen extrem seltenen als auch alltäglicheren Ereignissen Rechnung trägt, ist es bei vielen Ökonomen noch nicht sehr beliebt. Sie halten lieber an dem alten Modell fest und bezeichnen die unerwartet hohen Preisänderungen abwiegelnd als „Ausreißer“ oder „Tsunamis“. Schließlich decke Bacheliers Glockenkurve, abgesehen von einigen Ausnahmen, alle verfügbaren Finanzmarktdaten im Histogramm ab, und deshalb könne man sie getrost vernachlässigen, so die Argumentation. Physiker vertreten hier allerdings eine andere Meinung: Nur weil einige Messwerte nicht in die Theorie passen, dürfen sie nicht von vornherein außer Acht gelassen werden.

Auf- und Abwärtstrend

Bislang handelt es sich bei dem neuen Ansatz um keine vollständige Theorie. Ökonomen beginnen gerne mit einer Theorie und versuchen, sie dann mit realen Daten zu validieren. Physiker sind es hingegen gewohnt, mit Daten zu starten und mit Phänomenen umzugehen, für die es bislang keine akzeptierte Theorie gibt - man denke beispielsweise an die Hochtemperatur-Supraleitung. Das Modell von Bachelier hat aber noch ein weiteres Defizit: Es berücksichtigt nicht, wann die Transaktionen stattfanden. Indem man alle Preisänderungen sprichwörtlich in den verschiedenen Behältern eines Histogramms sammelt, gehen alle Informationen über den Zeitpunkt der Transaktion verloren. Gerade diese Angaben sind aber entscheidend, um das launenhafte Verhalten der Börse zu verstehen, wo Kurse in einem Moment steil ansteigen und dann plötzlich ins Bodenlose fallen.

Hier ist vereinfacht der Preis über dem Handelsvolumen, beide jeweils in Abhängigkeit von der Zeit, dargestellt. Die Zickzack-Kurve des Preises von Aktien hat Maxima und Minima. Unter ihr stellen Säulen das Handelsvolumen dar. Immer wenn das Handelsvolumen ein Maximum erreicht, dann spiegelt sich das in einem Maximum oder einem Minimum des Preises wider.
Transaktion für Transaktion

„Um auch das zeitliche Verhalten von Finanzmarktdaten zu erforschen, untersuchte ich zusammen mit meinen Kollegen riesige Datensätze auf drei variierende Größen hin: Preis der Transaktion, Anzahl der ausgetauschten Aktien, also das Volumen der Transaktion, sowie die Zeit bis zur nächsten Transaktion. Ich wollte herauszufinden, ob sich das Marktverhalten in der Nähe von sogenannten Wendepunkten durch universelle Regeln beschreiben lässt.“ Gemeint sind entweder lokale Minima - hier fällt der Aktienkurs, bevor er wieder zu steigen beginnt (auch bekannt als „Aufwärtstrend“) - oder lokale Maxima, bei denen der Preis einen Höhepunkt erreicht und danach wieder fällt („Abwärtstrend“).

„Um unser Ziel zu erreichen, entwickelten wir eine neue Analysemethode, und werteten damit Transaktionen an der internationalen Terminbörse EUREX aus.“ Hier werden sogenannte Terminkontrakte gehandelt - zum Beispiel auf den Deutschen Aktienindex DAX oder auf einzelne Aktien. Käufer und Verkäufer verpflichten sich, eine Aktie zu einem bestimmten Termin zu einem festgelegten Preis zu liefern beziehungsweise abzunehmen. Die von uns herangezogene Zeitreihe des „DAX Future“ umfasst 14 Millionen Transaktionen mit einer Auflösung von erstaunlichen zehn Millisekunden. Auf diese Weise lassen sich alle auftretenden „Mikrotrends“ im Detail studieren. Zudem interessierten uns auch die „Makrotrends“, die sich über Zeiträume von bis zu hundert Tagen erstrecken. Also nahmen wir zusätzlich 2,6 Millionen Tagesschlusskurse der Komponenten des Aktienindexes Standard & Poor's 500 in den USA unter die Lupe.

Die Prüfung beider Datensätze zeigt, dass das Volumen einer Transaktion dramatisch zunimmt, wenn ein Trend sein Ende erreicht. Gleichzeitig nehmen die Zeitintervalle zwischen den einzelnen Transaktionen ab. Aktien werden demnach häufiger und in größeren Mengen verkauft, wenn die Preise zu steigen oder fallen beginnen. Dies lässt sich als Indiz für eine „Panik-Hypothese“ werten: Börsenhändler verfolgen aufmerksam alle Kursschwankungen und nutzen diese Informationen, um Aktien mit größtmöglichem Profit zu handeln. Sie versuchen zu erraten, wann der Preis ein lokales Maximum oder Minimum erreicht hat, sodass sie zur besten Zeit verkaufen oder kaufen können. Verständlich also, dass sie am Ende eines Trends - der mit den stärksten Kurszuwächsen und -abschlägen einhergeht - nervös werden oder sogar in Panik geraten, aus Angst, eine Trendbewegung zu verpassen.

Börse und Erdbeben

Das Bild zeigt untereinander vier verschiedene Kurven, die einen ähnlichen Verlauf aufweisen. Alle vier fallen zunächst in der linken Hälfte des Diagramms um einen ähnlichen Betrag ab. Diesem Sinken sind kleinere Aufs und Abs überlagert. In der rechten Hälfte des Kurvenverlaufs pendeln sie sich bei einem bestimmten Wert ein, ebenfalls überlagert von kleineren Schwankungen. Von oben nach unten werden die Kurven immer grober aufgelöst, weil die unterste Kurve die kürzeste der vier verglichenen Zeitspannen darstellt.
Skalenfreies Marktverhalten

„Zu unserer Überraschung stellten wir fest, dass sich sowohl alle untersuchten Transaktionsvolumina als auch die Zeitintervalle zwischen den einzelnen Transaktionen durch ein empirisches Potenzgesetz beschreiben lassen.“ Der Exponent ist dabei auf Zeitskalen von zehn Millisekunden bis hundert Tagen sehr ähnlich. Das Auftreten von Auf- und Abwärtstrends - Finanzblasen und Börsencrashs - ist demnach skaleninvariant: Dasselbe Gesetz gilt über mindestens neun Größenordnungen.

„Unsere Ergebnisse legen nahe, dass es sich bei den globalen Finanzkrisen von 1929 und 2008 womöglich nicht um Ausreißer handelt. Stattdessen sind sie eher als sehr ausgeprägter Abwärtstrends anzusehen, verursacht durch das Auftreten von kleineren Auf- und Abwärtstrends auf Zeitskalen von Millisekunden bis hin zu Jahren.“ Vergleichen lässt sich das sehr gut mit häufig auftretenden, schwachen Erdbeben, die letzten Endes auch mit den viel selteneren, extrem starken Beben zusammenhängen. Nach dieser Analogie sollte es möglich sein, durch das Studium von winzigen Crashs mehr über die Eigenschaften von fatalen Börsencrashs zu lernen.

An typischen Börsentagen können Finanzmarktakteure ohne Probleme mit traditionellen Gaußschen Modellen ihr Risiko berechnen. Allerdings wiegen sie sich in trügerischer Sicherheit. Denn wie im Fall von schwachen Erdbeben, die man schnell vergisst, kann es eines Tages zu einem schweren, desaströsen Beben kommen. Doch während viele Regierungen im Fall von Erdbeben die reale Gefahr von seltenen Ereignissen inzwischen erkannt haben und zum Beispiel erdbebensichere Gebäude vorschreiben, bleibt unklar, wann sie das Risiko von Börsencrashs ebenso ernst nehmen werden.

„Um die von uns gewonnenen Erkenntnisse für eine breite Öffentlichkeit zugänglich zu machen, und um Konsequenzen für die Quantifizierung von Risiken aufzuzeigen, wird in Kürze ein internetbasiertes Observatorium - das Financial Observatory - den Betrieb aufnehmen. Mittels diverser Datenquellen soll hier das Auf und Ab an der Börse analysiert und visualisiert werden.“