Quantenchromodynamik auf dem Gitter

Wie die Bausteine von Atomen miteinander in Wechselwirkungen treten, beschreibt die Quantenchromodynamik. Doch trotz aller modernen Hilfsmittel sind Physiker damit überfordert, die mathematischen Gleichungen dahinter exakt zu lösen. Deshalb wenden sie einen Trick an.

Wenn dieser Tage die Rede vom Higgs-Teilchen ist und dass es den Ursprung der Masse erklärt, dann wird dabei leicht vergessen, dass der Großteil unserer eigenen Masse, der Masse unserer Erde und des gesamten für uns sichtbaren Universums einen ganz anderen Ursprung hat. Es ist nicht das Higgs-Feld, das gewöhnliche Materie so schwer sein lässt, wie sie es ist – sondern die Bewegungs- und Bindungsenergie der kleinsten uns bekannten Teilchen, aus denen Atomkerne zusammengesetzt sind. Aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie, von Einstein in der Formel E=mc² ausgedrückt, bemerken wir diese Energie als Masse. Das führt zu der etwas kuriosen Situation, dass die Trägheit und Schwere aller uns umgebenden Dinge ihren Ursprung in der extrem schnellen Bewegung ihrer vielen, ganz leichten Bestandteile hat.

Alles, was wir sehen – Menschen, Tiere, Pflanzen, Erde und Planeten – besteht aus Materieteilchen. Insgesamt gibt es zwölf Materieteilchen, die in sechs Quarks und sechs Leptonen unterteilt werden. Beide Gruppen bestehen aus Teilchen dreier Familien.
Elementarteilchen und Grundkräfte

Aber was sind nun diese leichten Bausteine der Atomkerne? Seit mittlerweile über dreißig Jahren sind sich Physiker einig, dass Protonen und Neutronen, aus denen die Atomkerne zusammengesetzt sind, selbst aus wiederum jeweils drei sogenannten Quarks bestehen. Der Vorschlag, dass dies so sei, ist allerdings wesentlich älter, nämlich aus dem Jahr 1964. Damals erkannte der Physiker Murray Gell-Mann, dass sich mit dieser Annahme Ordnung in den damals schon unübersichtlich großen Zoo an beobachteten „elementaren“ Teilchen bringen lässt.

Wenn man davon ausgeht, dass sich eine gewisse Familie von Teilchen, die sogenannten Baryonen – zu denen beispielsweise Protonen und Neutronen zählen – aus drei und eine andere Familie, die sogenannten Mesonen, aus nur zwei dieser Quarks zusammensetzt, so benötigt man nur drei Quarks, um alle damals bekannten Baryonen und Mesonen daraus aufzubauen. Für diese fundamentale Entdeckung erhielt Gell-Mann 1969 den Nobelpreis, doch hatte das Modell zunächst noch einen großen Haken: Niemandem war es bis dahin gelungen, ein einzelnes Quark zu beobachten, und daran hat sich bis heute nichts geändert.

Eine starke Kraft

Es musste daher erst eine Theorie gefunden werden, die diesem sogenannten Quarkeinschluss Rechnung trägt – die zwar Quarks als fundamentale Objekte enthält, die aber gleichzeitig verbietet, ein einzelnes, freies Quark zu beobachten. Und noch etwas Wesentliches sollte eine solche Theorie leisten: Sie sollte erklären, wieso der Atomkern, der aus elektrisch neutralen Neutronen und positiv geladenen Protonen besteht, überhaupt zusammenhalten kann. Mit anderen Worten, die Theorie muss eine Kraft enthalten, die den Atomkern zusammenhält. Da diese Kraft stärker sein muss als die elektrische Abstoßung zwischen zwei positiv geladenen Protonen im Atomkern, wird sie auch die „starke Kernkraft“ oder einfach „starke Kraft“ genannt.

Auf der Grafik sind Kreise in den Komplementärfarben zu sehen.
Konzept der Farbladung

1973 schlug Gell-Mann zusammen mit den beiden theoretischen Physikern Harald Fritzsch und Heinrich Leutwyler eine solche Theorie vor – die Quantenchromodynamik, oder kurz QCD. Demnach besitzen alle Quarks eine zusätzliche Eigenschaft, die sogenannte Farbladung, die drei verschiedene Werte annehmen kann. Analog zu den Grundfarben Rot, Grün und Blau lassen sich diese Farbladungen kombinieren: Ein rotes, ein grünes und ein blaues Quark ergeben zusammen beispielsweise ein farbneutrales „weißes“ Teilchen. Zudem gibt es zu jedem Teilchen ein Antiteilchen mit genau umgekehrter Ladung – im Fall von Blau wäre das etwa Anti-Blau, beziehungsweise die Komplementärfarbe Gelb. Ein farbneutrales Teilchen kann also auch aus einem Quark und einem entsprechenden Antiquark zusammengestellt werden.

Interessanterweise entsprechen die farbneutralen Kombinationen aus drei Quarks genau den oben erwähnten Baryonen, also beispielsweise Protonen oder Neutronen, und die farbneutralen Kombinationen aus je einem Quark und einem Antiquark den oben erwähnten Mesonen. Gäbe es in der Theorie also einen Mechanismus, der erklärt, warum nur farbneutrale Objekte beobachtet werden können, so wären viele Rätsel des Quarkmodells gelöst.

Materie- und Austauschteilchen

Tatsächlich glaubt man heute diesen Mechanismus zu kennen. Er beruht auf einer Eigenschaft der zweiten Teilchenart, die in der QCD neben den Quarks vorkommt, den sogenannten Gluonen. Im Gegensatz zu den Quarks, die die „Materieteilchen“ der QCD darstellen, sind die Gluonen die „Austauschteilchen“ – die Teilchen, die die starke Kernkraft zwischen den Materieteilchen vermitteln. Sie sind also das Gegenstück der elektrischen und magnetischen Felder, die die elektromagnetische Kraft zwischen Ladungen vermitteln. Genauer gesagt sind sie das exakte Gegenstück der Teilchen, aus denen elektrische und magnetische Felder bestehen, der Lichtteilchen oder Photonen. Und genauso wie zwei elektrische Ladungen einander gegenseitig abstoßen oder anziehen, indem sie Photonen austauschen, tun dies auch Quarks, indem sie Gluonen austauschen.

Grafik: Links zwei Kreise mit Plus und Minus, von denen Feldlinien ausgehen. Rechts drei Abbildungen, die jeweils zwei unterschiedlich weit voneinander entfernte Kreise zeigen, umgeben von Feldlinien.
Unterschied zwischen elektrischem Feld und Farbfeld

Es gibt allerdings einen gravierenden Unterschied: Während Photonen als Austauschteilchen der elektromagnetischen Kraft nur in einer Variante vorkommen, vermitteln in der QCD insgesamt acht verschiedene Sorten von Gluonen die Kraft zwischen den Quarks. Da sich die Summe der Farbkomponenten nicht verändern darf, muss ein Gluon, das die Kraft zwischen zwei verschiedenen Farbkomponenten überträgt, selbst eine Farbe besitzen: Hält es beispielsweise ein blaues und ein rotes Quark zusammen, muss es orangefarben sein – zusammengesetzt aus Anti-Blau oder Gelb und Rot – und ein blaues in ein rotes Quark umwandeln. Folglich gibt es in der QCD sechs geladene „farbige“ Gluonen, zu denen sich noch zwei ungeladene „weiße“ gesellen.

Während sich das elektrische Feld zwischen zwei elektrischen Ladungen ungehindert im gesamten Raum ausdehnen kann, verhält sich das Farbfeld zwischen zwei Quarks mit entgegengesetzter Farbladung völlig anders. Im Gegensatz zu den elektrisch neutralen Photonen tragen die Gluonen, aus denen das Farbfeld besteht, selbst Farbladung. Sie ziehen sich daher gegenseitig an und begrenzen das Farbfeld auf einen bestimmten Raumbereich. Versucht man nun die beiden Quarks wie elektrische Ladungen zu trennen, bildet das Gluonenfeld zwischen den Quarks eine Art Schlauch. Je größer der Abstand zwischen den Quarks, desto mehr Energie steckt in diesem Schlauch. Schließlich wandelt sich die angesammelte Energie in Masse um: in zwei weitere, wiederum entgegengesetzt geladene Quarks. Endresultat des Versuchs sind also nicht zwei freie Quarks, sondern zwei farbneutrale Mesonen.

Rechnen auf dem Gitter

Dieses anschauliche Bild mathematisch zu untermauern, versuchte im Jahr 1974 Gell-Manns Schüler Kenneth Wilson. Da es ihm aussichtslos erschien, die Bindungszustände von Quarks und Gluonen mit den üblichen Mitteln der sogenannten Störungstheorie zu beschreiben, bei der man von einem Zustand freier Quarks und Gluonen ausgeht und diesem schrittweise Korrekturen hinzufügt, war es Wilsons Ziel, die Gleichungen vollständig und exakt zu lösen. Das ist natürlich nicht so einfach.

Quarks und Gluonen werden in der QCD durch Quantenfelder beschrieben, die sich zu jedem Zeitpunkt im gesamten Raum ausbreiten. Zur exakten Lösung der Gleichungen müsste man also den Wert dieser Felder an jedem der unendlich vielen Raum- und Zeitpunkte berechnen können, was praktisch unmöglich ist. Wilson schlug daher vor, den kontinuierlichen Raum und die kontinuierliche Zeit durch ein Gitter zu ersetzen. Die Quantenfelder der Quarks und Gluonen sollten nicht mehr in der gesamten Raumzeit, sondern nur noch an den Gitterpunkten beziehungsweise ihren Verbindungslinien existieren. Diese Konstruktion beseitigt die Unendlichkeit des Problems und es ist nun prinzipiell möglich, die Grundgleichungen der QCD mithilfe eines Computers zu lösen.

Die Grafik zeigt ein Gitter.
Raumzeitgitter

Obwohl diese Grundidee der Gitter-QCD sehr einfach ist, gibt es bei ihrer Umsetzung doch erhebliche praktische Schwierigkeiten. Die allererste Frage: Wie erhält man aus den Lösungen der Gitter-QCD die Lösung der QCD in der kontinuierlichen Raumzeit. Hier kommt eine Eigenschaft namens „asymptotische Freiheit“ ins Spiel, für deren Entdeckung David Politzer, David Gross und Frank Wilczek 2004 den Nobelpreis erhielten. Die asymptotische Freiheit ist gewissermaßen das Gegenstück zum Quarkeinschluss und besagt, dass die Stärke der Wechselwirkung zwischen den Quarks für kleine Abstände immer weiter abnimmt und schließlich verschwindet. Je feiner das Raumzeitgitter, desto mehr nähern sich die Resultate der Gitterrechnungen den korrekten Resultaten an. Auf der anderen Seite muss das Gitter aber auch so groß sein, dass alle darin enthaltenen Teilchen nicht „spüren“, dass sie nicht im gesamten Raum, sondern nur in einem kleinen Ausschnitt davon existieren.

Eine weitere Hürde ergibt sich aus der Tatsache, dass keine freien Quarks beobachtet werden können. Folglich kennen Physiker die Masse eines freien Quarks auch nicht a priori und können sie deshalb auch nicht von Beginn an in die Gleichungen der QCD hineinstecken. Dasselbe gilt auch für die Stärke der Kraft oder Kopplungskonstante. Denn wie stark sich die Quarks gegenseitig anziehen, lässt sich aufgrund des Quarkeinschlusses nicht direkt messen. Um die korrekten Werte zu finden, studieren Physiker in ihren Modellen zunächst die Auswirkungen dieser beiden Parameter auf die Eigenschaften beobachtbarer Objekte. Anschließend passen sie die Parameter dann so an, dass diese Eigenschaften mit den in der Natur beobachteten übereinstimmen.

Erfolge der Gitter-QCD

Ein stetiger Fortschritt im Verständnis der mathematischen Probleme, neue Algorithmen und nicht zuletzt die rasante Entwicklung der Computertechnologie haben aber dazu beigetragen, dass Gitterrechnungen heutzutage schon viele Fragen beantworten können. Die Masse des Protons und vieler anderer aus Quarks zusammengesetzter Teilchen lässt sich inzwischen berechnen und damit der Ursprung des Großteils der Masse des sichtbaren Universums quantitativ verstehen. Auch die Massen der Quarks sowie die Kopplungskonstante der QCD konnten Physiker mithilfe von Gitterrechnungen bestimmen – ebenso die Struktur der aus Quarks zusammengesetzten Teilchen, allen voran wieder die des Protons.

In der Grafik sind Proton und Neutron dargestellt, jeweils aus drei Kreisen zusammengesetzt.
Proton und Neutron

Die Gitter-QCD ermöglicht sogar einen Blick ins frühe Universum: Kurz nach dem Urknall waren die Temperaturen im Weltall derart hoch, dass alle Bindungszustände „schmolzen“ und sogar freie Quarks und Gluonen existieren konnten. Der Kosmos kühlte sich allmählich ab und als er rund hunderttausendmal heißer war als der Kern unserer Sonne formten sich aus der Suppe aus freien Quarks und Gluonen die ersten Protonen und Neutronen. Gitterrechnungen haben gezeigt, dass dies ein sehr stetiger Prozess war, bei welchen Temperaturen er ablief und wie hoch Druck und Energie dabei waren.

Trotz dieser Teilerfolge gibt es noch sehr viel Arbeit für die kommenden Jahre und wohl Jahrzehnte. So sollte die QCD, als die fundamentale Theorie der starken Kernkraft, in der Lage sein, alle Phänomene der Kernphysik vorherzusagen. Doch die Beschreibung der Wechselwirkung zwischen Protonen und Neutronen und der aus ihnen aufgebauten Atomkerne, insbesondere der massereichen, stellt Physiker derzeit noch vor unlösbare Aufgaben. Es lockt aber die Hoffnung, derzeit noch unbekannte, exotische Materieformen aufzuspüren.