Eine unmögliche Wette?

Die Mathematik spielt oft ihre Tricks mit unserem gesunden Alltagsverstand. Ein Beispiel für so ein verblüffendes Phänomen ist die „unmögliche Wette“, die Kevin in einem Video des Youtube-Kanals „Minutephysics“ entdeckt hat. Er wollte mehr erfahren und erklärt in seinem Artikel nicht nur die Mathematik der Wahrscheinlichkeiten, sondern auch warum diese immer wieder in der Physik auftauchen.

Ich möchte dir und 99 anderen Leuten eine Wette anbieten. Zuerst müsst ihr euch in einer Reihe aufstellen. Jeder holt nun einen 5-Euro-Schein aus seinem Portmonee und schreibt auf den Schein mit einem Stift die Nummer seiner Position in der Reihe. Anschließend werde ich das Geld einsammeln und in einen anderen Raum bringen. Dort befinden sich 100 identische Boxen in einer Reihe, in denen ich die 100 Geldscheine zufällig verteile – genau ein Schein pro Kiste. Eure Aufgabe besteht nun darin, euren eigenen Schein wiederzufinden. Dabei gelten drei Regeln:

  1. Ihr müsst einzeln und nacheinander in den Raum gehen.
  2. Jeder darf nur in höchstens 50 der 100 Boxen schauen.
  3. Die Position der Boxen wird nicht verändert.
100 Wettteilnehmer sind mehr Leute als in diesem Bild

Wer den Schein mit seiner Nummer, und damit sein Geld gefunden hat, zeigt es mir, legt es zurück in die Box und verlässt den Raum. Nachdem eine Person an der Reihe war, darf sie den anderen nichts mitteilen und der Raum wird wieder in seine ursprüngliche Lage versetzt, damit keine geheimen Nachrichten ausgetauscht werden können. Wenn jeder seinen Schein gefunden hat, kriegen alle jeweils 5 mal 100 €, plus ihre ursprünglichen 5 € - also 505 Euro. Doch wenn nur ein einziger verliert, das heißt nicht seine Nummer findet, bekommt ihr alle nichts. Bevor das Spiel beginnt, dürft ihr euch natürlich eine Strategie ausdenken. Die spannende Frage ist nun: Würdest du die Wette annehmen?

Bevor wir versuchen eine Antwort zu finden, lass uns das Spiel etwas genauer analysieren. Anfangs scheint die Wette ziemlich unfair, da alle 100 Personen erfolgreich sein müssen, um zu gewinnen. Würde jeder einzelne seine 50 Boxen per Zufall aussuchen, hätte jeder einzelne eine Erfolgschance von 50 %. Das ist so viel, wie die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Kopf statt Zahl zu erhalten. Um die Wette zu gewinnen, müsste man also von 100 Münzwürfen 100-mal Kopf treffen. Man hätte eine mickrige Chance von:$$0{,}5^{100}=0.00000000000000000000000000008\,\%$$

Also würde man auf den ersten Blick die Wette wahrscheinlich nicht eingehen wollen, um seine 5 Euro Wetteinsatz nicht mit großer Sicherheit zu verlieren. Das Problem ist nämlich, dass durch die eben beschriebene „zufällige“ Strategie die einzelnen Wahrscheinlichkeiten des persönlichen Erfolgs oder Misserfolgs unabhängig voneinander sind. Wenn man 100 Zahlen, die etwas kleiner als 1 sind, miteinander multipliziert, kommt zwangsweise eine sehr kleine Zahl als Ergebnis heraus. Selbst wenn die Spieler jeweils jeweils 95 Boxen (statt nur 50!) öffnen dürften, würden sie dadurch nur zu 0,6 % gewinnen. Der Trick ist also eine Strategie zu finden, bei der die Ereignisse abhängig voneinander sind.

Ein geschickter Mathematiker kann dann berechnen, dass man so tatsächlich eine Wahrscheinlichkeit von ca. 31,2 % erreichen kann. Es klingt ziemlich unfassbar, dass damit die 100 Teilnehmer in knapp jedem dritten Spiel wirklich alle ihren Schein finden und gewinnen. Wenn man abenteuerlustig ist und viele Male nacheinander die Wette wiederholt, sagen wir 100 mal, kann man mit dieser Strategie damit rechnen, dass man circa 31 mal gewinnt und 69 mal verliert. Das heißt, man würde insgesamt \(31\cdot 500\,€=15\,655\,€\) gewinnen und nur \(69\cdot 5\,€=345\,€\) verlieren, zusammengenommen also 15310 € Euro plus machen. Man würde mit diesem Wissen sicherlich ohne Zögern die Wette annehmen. Doch wie funktioniert diese Strategie?

Die Gewinnstrategie

Sie beruht auf einer ganz einfachen Tatsache, nämlich dass sich die Boxen stets auf der gleichen Position befinden. Man kann sich somit vorher in der Gruppe absprechen, die Boxen im Kopf von 1 bis 100 durchzunummerieren. Die Strategie ist nun, als erstes in die Box zu schauen, die deine gesuchte Geldschein-Nummer hat. Wenn du dort deinen Schein findest, hast du gewonnen und wenn du einen Schein mit einer anderen Nummer findest, gehst du als nächstes zur Box mit dieser Nummer. Das wiederholst du solange, bis du deinen Schein eventuell findest oder eben in alle 50 erlaubten Boxen geguckt hast. Hier ist ein Beispiel, wenn du die Nummer 17 hättest:

Illustration einer Kette zwischen den Kisten

Jemand mit der Nummer 23, 15 oder 28 würde dadurch auch seinen Schein finden, da er durch diese Verkettung auf die Box mit der eigenen Nummer geführt wird. Innerhalb der 100 Boxen entstehen also viele solcher Verkettungen, die in der Mathematik Zyklus genannt werden. Ein Zyklus zeichnet sich durch einen geschlossenen Kreis an Boxen aus (Mathematiker sprechen anstatt von Boxen allgemein von „Elementen“), bei denen die einzelnen Boxen der Reihe nach aufeinander abgebildet werden, bis das letzte Element wieder das erste erreicht. Wenn nun aber ein Zyklus innerhalb der 100 Boxen mehr als 50 Elemente besitzt, verliert mindestens eine Person, und somit die ganze Gruppe, die Wette. Die Frage nach der Gewinnwahrscheinlichkeit entspricht also der Frage nach der Wahrscheinlichkeit, dass es keine Zyklen gibt, die größer als 50 sind.

Um diese Wahrscheinlichkeit herauszufinden, müssen wir uns erst einmal die Anzahl aller Möglichkeiten angucken, wie die 100 Boxen angeordnet werden können. Auf der ersten Position können sich 100 verschiedene Boxen mit verschiedenen Scheinen befinden. Auf der zweiten nur noch 99, da eine Box bereits auf der ersten Position ist. Auf der dritten 98, vierten 97, … – insgesamt gibt es also \(100\cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot \ldots \cdot\ 3 \cdot 2 \cdot 1\) Möglichkeiten. In der Mathematik nennt man so etwas „100 Fakultät“ und schreibt \(100!\).

Wir betrachten nun die Anzahl aller Möglichkeiten, wie die 100 Boxen angeordnet werden können, wenn ein Zyklus der Länge 51 existiert. Die erste Box des Zyklus kann sich auf 100 verschiedenen Positionen befinden, die zweite auf 99, die dritte auf 98, … und die 51ste auf 50. Insgesamt gibt es also \(100\cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot \ldots \cdot\ 52 \cdot 51 \cdot 50\), oder auch \(\frac{100!}{49!}\) Möglichkeiten. Hierbei werden jedoch einige Möglichkeiten doppelt gezählt. Am obigen Beispiel mit der Nummer 17 sieht man, dass es keinen Unterschied macht, ob die erste Box die mit der Nummer 23 ist und sich auf der Position 17 befindet oder die mit der Nummer 15 ist und auf der Position 28 sitzt. Es sind beides Bedingungen des gleichen Zyklus und werden bei der Berechnung doppelt gezählt. Man muss also durch die Anzahl der Boxen, die sich in einem Zyklus befinden, teilen. Bei unserem Zyklus der Länge 51 erhalten wir somit: \(\frac{100!}{49!}\cdot \frac{1}{51}\). Die restlichen 49 Boxen können auf \(49!\) Möglichkeiten angeordnet werden. Insgesamt erhalten wir also: \(\frac{100!}{49!}\cdot \frac{49!}{51}=\frac{100!}{51}\). Nun müssen wir nur noch die Anzahl der Möglichkeiten mit einem Zyklus der Länge 51 und die Anzahl der gesamten Möglichkeiten ins Verhältnis setzten und erhalten die Wahrscheinlichkeit \(\frac{100!}{51}\cdot\frac{1}{100!}=\frac{1}{51}\approx 2\,\%\) dafür, dass ein Zyklus mit der Länge 51 auftaucht.

Analog dazu kriegen wir bei einem Zyklus der Länge 52 die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{52}\), bei 53 dann \(\frac{1}{53}\), bei 54 dann \(\frac{1}{54}\), …. Die Wahrscheinlichkeit, dass von den 100 Boxen ein Zyklus mindestens die Länge 51 hat, beträgt also \(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53} + \cdots + \frac{1}{100} \approx 68{,}8\,\%\). Man verliert somit zu 68,8 %, beziehungsweise gewinnt zu 31,2 %. Diese Schlussfolgerung ist verblüffend, auch wenn wir sie rechnerisch bestätigt haben!

Der Zufall in der Natur

Orbitale im Atom: Ausdruck für den Zufall in der Quantenwelt

Auf den ersten Blick scheinen solche Gedankenexperimente zwar ein nettes Jonglieren mit Zahlen und Wahrscheinlichkeiten zu sein, doch wenig mit der Realität zu tun zu haben. Warum ist es also nicht nur für Mathematiker, sondern gerade auch für Physiker wichtig, dass sie mit dem Zufall rechnen können? Tatsächlich arbeiten Wissenschaftler erst seit knapp 100 Jahren mit einem präzisen Begriff von Wahrscheinlichkeit, davor gab es in der Mathematik nämlich noch keine ausgefeilte Wahrscheinlichkeitstheorie. Das ist umso erstaunlicher, als doch der Zufall in vielen physikalischen Theorien eine entscheidende Rolle spielt.

Auch wenn die Naturgesetze in der Vorstellung der meisten Menschen etwas Endgültiges und von vorne herein Feststehendes sind — man sagt auch, die Natur sei deterministisch — stellten Physiker bereits zum Ende des 19. Jahrhunderts fest, dass sich das Phänomen der Wärme am besten mit Hilfe von Wahrscheinlichkeiten verstehen lässt. Die Beschreibung komplizierter physikalischer Systeme, wie zum Beispiel ein Gas, das sich aus unzähligen Molekülen zusammensetzt, gelingt damit relativ einfach mit Hilfe von statistischen Methoden. Man spricht deshalb auch von der sogenannten statistischen Physik, die mittlerweile eine wichtige Grundlage der heutigen Physik darstellt.

Und noch eine weitere und in gewisser Weise viel grundlegendere Erkenntnis zwang Physiker, sich zu Anfang des 20. Jahrhunderts ganz genau mit Wahrscheinlichkeiten zu beschäftigen: Die Entwicklung der Quantenmechanik zeigte nämlich, dass der Zufall eine ganz elementare Eigenschaft der Natur ist. Auch wenn diese in unserem Alltag deterministisch zu sein scheint, verhält sich die Natur auf mikroskopischem Level unvorhersehbar. In der Welt der Quanten regiert der Zufall und will man dieser mithilfe physikalischer Theorien Herr werden, müssen Physiker ihr mathematisches Handwerkszeug beherrschen. Das ermöglicht ihnen nicht nur, unsere Welt auf fundamentalster Ebene zu verstehen, sondern auch die richtige Entscheidung zu treffen, wenn ihnen eine vermeintlich aussichtslose Wette angeboten wird.