Die Äquivalenzprinzipien des Albert Einstein

Am Anfang einer neuen physikalischen Erkenntnis steht oft eine einfache Frage. Albert Einsteins Relativitätstheorie ist da keine Ausnahme. François Duhesme beschäftigt sich mit einer Frage, die letztendlich zur Entwicklung Einsteins berühmter Theorie führte. Und natürlich gibt er auch gleich die passende Antwort. 

Wenn wir eine Feder und einen Stein gleichzeitig loslassen, was von beiden fällt schneller? Erste Tests, um diesen Sachverhalt zu überprüfen, wagte Galileo Galiei schon im 16. Jahrhundert. Geschichten zufolge warf er zwei Testobjekte mit unterschiedlichen Massen vom schiefen Turm von Pisa hinab und schaute, welches zuerst am Boden ankam. Intuitiv nehmen wir natürlich an, dass der Stein sehr viel schneller den Boden erreichen müsste als die Feder, da er ja schwerer als die Feder ist. Allerdings ist diese einfache Begründung falsch: Der Stein fällt nicht schneller, weil seine Masse größer ist als die der Feder, sondern weil die Feder einem weitaus größeren Luftwiderstand ausgesetzt ist. Würde man den Versuch im Vakuum wiederholen, wo keine bremsende Luft vorhanden ist, würden sowohl die Feder als auch der Stein gleich schnell fallen und sie kämen gleichzeitig am Boden an.

Foto einer durchsichtigen Röhre, von einer Hand senkrecht gehalten, in der eine kleine Kugel auf dem Boden liegt und sich eine Feder in der Mitte im freien Fall befindet.
Der Fallrohr-Versuch

Aus dieser Erkenntnis entstand das sogenannte schwache Äquivalenzprinzip. Dieses besagt, dass die träge Masse äquivalent – also identisch – zur schweren Masse ist. Es war Albert Einstein, der später dieses Äquivalenzprinzip verallgemeinerte und damit seine Allgemeine Relativitätstheorie begründete. Doch was bedeuten eigentlich die Begriffe „schwere“ und „träge“ Masse? Die Schwerkraft übt, wie der Name schon sagt, eine Kraft auf uns aus, die uns auf der Erde festhält. Dabei ist die Schwerkraft proportional zu unserer schweren Masse. In eine Gleichung gesteckt, lässt sich diese Tatsache dadurch ausdrücken, dass die Schwerkraft das Produkt aus der schweren Masse und der Schwerebeschleunigung g ist. Die schwere Masse gibt also an, wie stark die Schwerkraft auf uns wirkt. Wenn wir eine große schwere Masse haben, wirkt die Schwerkraft sehr stark, haben wir hingegen eine niedrige schwere Masse, ist die auf uns einwirkende Schwerkraft ebenfalls niedrig.

Die träge Masse hingegen ist unabhängig von der Schwerkraft und gibt an, wie schwer es ist, einen Körper in Bewegung zu bringen, also wie viel Kraft man aufwenden muss um diesen Körper zu beschleunigen. Diese Kraft lässt sich dann als Produkt aus Beschleunigung und träger Masse berechnen. Wenn wir zum Beispiel ein Bobbycar beschleunigen, reicht ein kleiner Stupser aus, denn das Bobbycar hat eine geringe Trägheitsmasse. Wollen wir jedoch ein Auto genauso stark beschleunigen, brauchen wir mehrere Helfer, denn das Auto hat eine viel größere Trägheitsmasse und wir müssen daher eine viel größere Kraft ausüben.

Das schwache Äquivalenzprinzip besagt, dass die schwere Masse und die träge Masse identisch sind. Das heißt, dass die Größe, die bestimmt wie stark die Schwerkraft auf uns einwirkt, gleichzeitig auch bestimmt welche Kraft aufgewendet werden muss, um uns zu beschleunigen. In unserem Gedankenexperiment mit den fallenden Gegenständen hat der Stein eine viel größere schwere Masse als die Feder. Die Schwerkraft, die auf ihn einwirkt, ist also größer. Dafür ist es aber aufgrund seiner trägen Masse auch schwieriger, ihn in Bewegung zu setzen. Die Feder wird letztendlich genauso stark beschleunigt wie der Stein und fällt deshalb in einem Vakuum genauso schnell.

Abgerundetes schwarzes Rechteck in dem sich zwei schwarze Menschen-Figuren befinden. An der Oberseite des Rechtecks ist eine unterbrochene Linie gezeichnet, die ein reißendes Seil verdeutlichen soll. Ein kleiner blauer Pfeil rechts neben dem Rechteck verdeutlicht, dass der Fahrstuhl nach unten fällt.
Bezugssystem „frei fallender Fahrstuhl“

Doch gibt es nicht nur ein schwaches, sondern auch ein starkes Äquivalenzprinzip. Und um die Aussage des starken Äquivalenzprinzips zu verstehen, stellen wir uns vor, wir befinden uns in einem Fahrstuhl – und plötzlich reißt das Seil! Wahrlich keine angenehme Vorstellung sich in einem frei fallenden Fahrstuhl zu befinden. Allerdings ist der Moment, während der Fahrstuhl fällt, durchaus interessant. Denn da unser Referenzsystem, der Fahrstuhl, genauso schnell fällt wie wir, merken wir nicht, dass wir selber fallen – wir glauben, wir seien schwerelos. Im Bezugssystem „frei fallender Fahrstuhl“ spüren wir als Beobachter also keine Schwerkraft.

Einstein entwickelte diesen Gedanken weiter und stellte eine These auf, die zur Grundlage für die Allgemeine Relativitätstheorie wurde: In einem frei fallenden Referenzsystem laufen alle Vorgänge so ab, als ob keine Schwerkraft vorhanden sei. Ein Beobachter in einem solchen System hat also lokal keine Möglichkeit, zu entscheiden, ob er frei fällt oder ob keine Gravitation vorhanden ist. Dies nennen Physiker das starke Äquivalenzprinzip.

Abgerundetes schwarzes Rechteck in dem sich zwei schwarze Menschen-Figuren befinden. An der Oberseite des Rechtecks ist eine durchgezogene Linie gezeichnet, die ein Seil darstellen soll. Ein kleiner blauer Pfeil rechts neben dem Rechteck verdeutlicht, dass der Fahrstuhl nach oben fährt.
Beschleunigtes Bezugssystem

 

 

Es gibt auch eine andere Möglichkeit, sich dieses starke Äquivalenzprinzip zu verdeutlichen. Dazu stellen wir uns wieder vor wir befinden uns in einem Fahrstuhl, der diesmal aber nicht frei fällt, wir stehen mit beiden Füßen fest auf dem Boden. Es ist die Gravitation, die uns festhält und daran hindert schwerelos durch die Kabine zu schweben. Doch der Fahrstuhl hat keine Fenster – woher wissen wir also, dass wir uns wirklich auf der Erde befinden und uns die vertraute Schwerkraft nach unten zieht? Denn auch das ist eine Aussage des Äquivalenzprinzip: Genauso wenig wie wir in unserem Referenzsystem mit Experimenten unterscheiden können, ob wir frei fallen oder nur keiner Gravitation ausgesetzt sind, können wir auch nicht sagen, ob wir Gravitation spüren oder ob sich unser Bezugssystem beschleunigt bewegt. Denn unser Fahrstuhl könnte theoretisch auch durch das Universum fliegen, weit weg von jedem Stern und jedem Planeten und damit weit weg von jeglichen gravitativen Einflüssen. Zum Beispiel könnte ein Raketenantrieb unsere Fahrstuhlkabine beschleunigen und wir würden eine falsche Schwerkraft spüren.

Doch die Relativitätstheorie von Albert Einstein ist nicht nur eine trockene Theorie, sondern wird auch in modernen technischen Geräten berücksichtigt: Zum Beispiel müssen Navigationssysteme für die Entfernungs- oder Geschwindigkeitsbestimmung in Autos die Effekte der Relativitätstheorie mit einbeziehen. Die elektromagnetischen Wellen, die die Navigationssysteme von Satelliten erhalten, bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit und durch den relativistischen Dopplereffekt und die gravitative Rotverschiebung gehen die Uhren am Satelliten und auf der Erde nicht genau gleich. Um also den genauen Standpunkt eines Autos mit Navigationssystem zu berechnen, müssen diese beiden Effekte herausgerechnet werden – mithilfe der Relativitätstheorie. Was es genau mit dem Dopplereffekt und der Rotverschiebung auf sich hat, könnt ihr in François' Artikel ArrayDopplereffekte und Rotverschiebungen nachlesen. 

Die Schwerebeschleunigung g

Die Schwerkraft, die wir auf der Erde spüren, ist proportional zu unserer schweren Masse m und der Schwerebeschleunigung g: \(F = {m}*{g}\). Dabei setzt sich die Schwerebeschleunigung g aus der Gravitationsbeschleunigung g(grav) und der Zentrifugalbeschleunigung g(zentr) zusammen. Die Gravitationsbeschleunigung hängt von der Masse M des Himmelskörpers, der Gravitationskonstante G und unseres radialen Abstands r zum Zentrum des Himmelskörpers ab:

\(g(grav) = \frac{M*G}{r^2}\)

Die Zentrifugalbeschleunigung, die auf uns wirkt, hängt mit der Rotation eines Himmelkörpers zusammen und lässt sich aus demselben Abstand r und der Winkelgeschwindigkeit w bestimmen:

\(g(zentr) = {w^2}*{r}\)

Da die Zentrifugalbeschleunigung an den Polen der Erde gleich Null ist und am Äquator am größten, erfahren wir am Äquator eine etwas geringere Schwerebeschleunigung als an den Polen. Dazu kommt, dass die Erde keine perfekte Kugel ist, sondern an den Polen abgeflacht ist. Der Abstand r zum Zentrum der Erde ist dort also etwas geringer als am Äquator. Somit sind wir am Äquator ein wenig leichter als an den Polen. Zum Vergleich:

  • \(g(Äquator) = 9,780 \frac{m}{s^2}\)
  • \(g(Pole) = 9,832 \frac{m}{s^2}\)

Die Schwerebeschleunigung auf dem Mond beträgt übrigens \(g(Mond) = 1,62 \frac{m}{s^2}\) und auf dem Jupiter \(g(Jupiter) = 23,12 \frac{m}{s^2}\).